题目内容

已知函数f（x）=sin2ωx+
3
sinωxsin（ωx+
π
2
）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）．
（2）求f（x）单调区间及其对称中心．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）化简先求解析式f（x）=sin（2ωx-
π
6
）+
1
2
，根据已知求得ω的值即可；
（2）令2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，求得f（x）的单调递增区间，令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，求得f（x）的单调递减区间，令2x-
π
6
=kπ，求得f（x）的对称中心．
解答： 解：（1）∵f（x）=sin2ωx+
3
sinωxsin（ωx+
π
2
）=
3
2
sin2ωx+
1-cos2ωx
2
=sin（2ωx-
π
6
）+
1
2
，
∵T=π=
2π
2ω
，可解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-
π
6
）+
1
2
，
（2）令2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，求得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，故f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈z．
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，求得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
3
，故f（x）的单调递减区间为[kπ+
π
3
，kπ+
5π
3
]，k∈z．
令2x-
π
6
=kπ，求得x=
kπ
2
+
π
12
，故f（x）的对称中心是（
kπ
2
+
π
12
，
1
2
），k∈z．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
设x，y满足约束条件
x≥2
3x-y≥1
y≥x+1
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则
3
a
+
2
b
的最小值为（　　）
A、12B、6C、4D、2
某地一填的温度（单位：℃）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=24-4sinωx-4
3
ωx，t∈[0，24），且早上8时的温度为24℃，ω∈（0，
π
8
）
（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（Ⅱ）当地有一通宵营业的超市，为了节省开支，规定在环境温度超过28℃时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在可使开启？何时关闭？
设|
m
|=1，|
n
|=2，2
m
+
n
与
m
-3
n
垂直，
a
=3
m
-2
n
，
b
=
m
+4
n
，则＜
a
，
b
＞=
 
．
若点（x，y）在不等式组
x+y≥0
x+2y-2≥0
x+3y-3≥0
表示的平面区域内运动，则z=2x+3y的取值范围是
 
．
如图，某三棱锥的三视图均为直角边为1的等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为（　　）
A、
3
2
+
2
2
B、1+
2
C、
1
2
+
2
D、
1
2
+
3
2
2
对于函数f（x）=
3
2x-1
+a（a∈R）．
（1）当a=-1时，分别求函数y=f（x）的定义域和零点；
（2）当f（x）为奇函数时，求a的值．
已知命题p：“?x∈R，ax2-ax-2≥0”，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是
 
．
计算：（1）(2
1
4
)
1
2
-（-5.9）0+(
2
)-2；　　
（2）log381+2lg5+lg4．

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