Question

对直线a、b和平面α，在a?α的前提下，给出关系：①a∥α，②b⊥α，③a⊥b．以其中的两个关系作为条件，另一个关系作为结论可构造三个不同的命题，分别记为命题1、命题2、命题3．
（Ⅰ）写出上述三个命题，并判断它们的真假；
（Ⅱ）选择（Ⅰ）中的一个真命题，根据题意画出图形，加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件，能写出满足题意的三个命题，并利用直线与直线、直线与平面的位置关系，判断三个命题的真假．
（Ⅱ）在三个命题中，选一个真命题，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能作出图形并进行证明．

解答：解：（Ⅰ）命题1：若a∥α，b⊥α，则a⊥b．真命题
命题2：若a∥α，a⊥b，则b⊥α．假命题
命题3：若b⊥α，a⊥b，则a∥α．真命题  …（6分）
（Ⅱ）下面证明命题1．示意图如图  …（8分）

过直线a作平面β，使β与α相交，设交线为c，…（10分）
因为a∥α，所以a∥c，①…（12分）
因为b⊥α，c?β，所以b⊥c，②…（13分）
由①、②知，b⊥a，即a⊥b．…（14分）
（证明命题3的参照评分）

点评：本题考查直线与平面、平面与平面、直线与直线的位置关系的判断与证明，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．