Question

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系，对开2a与2的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点A所在的曲线；
（2）当a=2时，其曲线方程为椭圆，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题．
解答：解：（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系
若，即，动点A所在的曲线不存在；
若，即，动点A所在的曲线方程为；
若，即，动点A所在的曲线方程为（4分）
（2）当a=2时，其曲线方程为椭圆
由条件知A，B两点均在椭圆上，且OA⊥OB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），
则OA的方程为y=kx，OB的方程为，解方程组，得，
同理可求得，，
△AOB面积=（8分）
令1+k²=t（t＞1）则
令所以，即
当k=0时，可求得S=1，故，故S的最小值为，最大值为1（12分）
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．属于中档题．