Question

8．设f（x）=ax²-（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）＞0，变形为（ax-1）（x-1）＞0，对a讨论，分a=0，a＜0，a=1，a＞1，0＜a＜1，化简不等式，即可得到所求解集；
（2）由题意可得，a（x²-1）-x+1＞0，对任意的a∈[-1，1]恒成立．设g（a）=a（x²-1）-x+1，a∈[-1，1]．可得g（-1）＞0，且g（1）＞0，由二次不等式的解法，即可得到所求x的范围．

解答 解：（1）f（x）＞0，即为ax²-（a+1）x+1＞0，
即有（ax-1）（x-1）＞0，
当a=0时，即有1-x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
由1＞$\frac{1}{a}$可得$\frac{1}{a}$＜x＜1；
当a=1时，（x-1）²＞0，即有x∈R，x≠1；
当a＞1时，1＞$\frac{1}{a}$，可得x＞1或x＜$\frac{1}{a}$；
当0＜a＜1时，1＜$\frac{1}{a}$，可得x＜1或x＞$\frac{1}{a}$．
综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜$\frac{1}{a}$}；
0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞$\frac{1}{a}$}．
（2）对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，
即为ax²-（a+1）x+1＞0，
即a（x²-x）-x+1＞0，对任意的a∈[-1，1]恒成立．
设g（a）=a（x²-x）-x+1，a∈[-1，1]．
则g（-1）＞0，且g（1）＞0，
即-（x²-x）-x+1＞0，且（x²-x）-x+1＞0，
即（x-1）（x+1）＜0，且x²-2x+1＞0，
解得-1＜x＜1，且x≠1．
可得-1＜x＜1．
故x的取值范围是（-1，1）．

点评 本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造一次函数法，运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．