题目内容
对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和Sn=（ ）
| A、（n+1）×2n+1 |
| B、（n+1）×2n |
| C、n×2n |
| D、n×2n+1 |
考点：数列的求和,导数的运算
专题：等差数列与等比数列
分析：利用导数的几何意义求出切线方程为y+2n=k（x-2），从而得到an=（n+1）2n，利用错位相减法能求出Sn．
解答：解：∵y=xn（1-x），∴y'=nxn-1-（n+1）xn，
∴曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（n+1）2n
切点为（2，-2n），
∴切线方程为y+2n=k（x-2），
令x=0得an=（n+1）2n，
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
-（n+1）•2n+1
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
故选：D．
∴曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（n+1）2n
切点为（2，-2n），
∴切线方程为y+2n=k（x-2），
令x=0得an=（n+1）2n，
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
| 4(1-2n-1) |
| 1-2 |
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
故选：D．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意导数的几何意义的应用，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为πn，且πn=（
）n（n+1），则S5等于（ ）
| 2 |
| A、31 | B、62 |
| C、124 | D、126 |
对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：
数列{xn}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（ ）
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 3 | 7 | 5 | 9 | 6 | 1 | 8 | 2 | 4 |
| A、7549 | B、7545 |
| C、7539 | D、7535 |
＝（ ）
（B）
，其图象在点
处的切线
与直线
垂直，则直线
与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
B、
C、
D、
，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
的直线l交椭圆于A，B两点，交直线
于点E，
判断
是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.
个等式为_______.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校
的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | 18 | x |
B | 36 | 2 |
C | 54 | y |
（1）求
、
;
（2）若从高校
、
抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校
的概率.