Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2-a）x-12，x≤7\\{（a+2）^{x-6}}，x＞7\end{array}$是R上的增函数
（1）求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2x，当x∈[1，4]时，试比较$f（g（x）），f（\frac{10}{3}），f（-\frac{16}{3}）$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义，建立不等式组，即可求实数a的取值范围；
（2）求导数，确定函数的单调性，求出-$\frac{16}{3}$≤g（x）≤$\frac{10}{3}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a+2＞1}\\{（2-a）×7-12≤a+2}\end{array}\right.$，∴0≤a＜2；
（2）∵g（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2x，∴g′（x）=-x²+x+2，
令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞2，函数单调递减；g′（x）＞0，可得-1＜x＜2，函数单调递增，
∴函数g（x）在[1，4]上的最大值为g（2）=$\frac{10}{3}$，
∵g（4）-g（1）=-7.5＜0，∴g（4）＜g（1），
∴函数g（x）在[1，4]上的最小值为g（4）=-$\frac{16}{3}$，
∴-$\frac{16}{3}$≤g（x）≤$\frac{10}{3}$，
∴f（-$\frac{16}{3}$）≤f（g（x））≤f（$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．