Question

10．设正实数a，b满足a+b=1，则a²+b²最小值是$\frac{1}{2}$，$\sqrt{a}+\sqrt{b}$最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，首先有基本不等式可得1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，对于a²+b²，将其变形可得a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab，结合$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，分析可得其最小值；对于$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，有（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）2=a+b+2$\sqrt{ab}$=1+2$\sqrt{ab}$，结合$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，分析可得其最大值；即可得答案．

解答 解：根据题意，若正实数a，b满足a+b=1，则有1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，
a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab≥$\frac{1}{2}$，即a²+b²最小值是$\frac{1}{2}$，
对于$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，有（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）2=a+b+2$\sqrt{ab}$=1+2$\sqrt{ab}$≤2，
则有$\sqrt{a}+\sqrt{b}$≤$\sqrt{2}$；
则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$最大值是$\sqrt{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键要熟悉基本不等式的形式，并能灵活应用．