Question

4．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S_n”．
（Ⅰ）当$p=q=\frac{1}{2}$时，记ξ=|S₃|，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）当$p=\frac{1}{3}，q=\frac{2}{3}$时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当$p=q=\frac{1}{2}$时，ξ=|S₃|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

解答 解：（Ⅰ）当$p=q=\frac{1}{2}$时，ξ=|S₃|的可能取值为1，3，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	3
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

Eξ=$1×\frac{3}{4}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）∵$p=\frac{1}{3}，q=\frac{2}{3}$，S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4），
∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，
并且满足下列条件：
若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，
若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，
∴S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率：
p=（${C}_{6}^{3}+{C}_{5}^{3}$）•（$\frac{1}{3}$）⁵•（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{80}{2187}$．

点评 本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查限制条件下的概率计算，处理离散型随机变量时，注意正确判断随机变量的取值，全面剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系，准确计算变量的每个取值的概率，有限制条件的概率计算要认清限制条件对事件的影响．