Question

6．已知函数$f（x）=\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易看出x满足x≠0，从而便可得出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，从而证明f（x₁）＜f（x₂）便得出f（x）在（0，+∞）上为减函数．

解答 解：（Ⅰ）要使函数f（x）有意义，只要使x≠0；
∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}；
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$=$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，且x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评 考查函数定义域的概念及求法，奇函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后为分式的一般要通分．