题目内容

9．某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：
人文科学类自然科学类艺术体育类
课程门数442
每门课程学分231
学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？
（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；
（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

分析 （I）利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出．
（II）甲选课程的学分可能为（3，3，1），（3，2，2），利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出．
（III）X的可能取值为4，5，6，7，8，9．利用互斥事件与互相独立事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设甲至少选一门艺术体育类课程的事件为A，$P（A）=\frac{C_2^1C_8^2+C_2^2C_8^1}{{C_{10}^3}}=\frac{8}{15}$；
乙至多选一门自然科学类课程的事件为B，$P（B）=\frac{C_4^1C_6^2+C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{3}$；
则所求概率为$P（A∩B）=P（A）•P（B）=\frac{8}{15}×\frac{2}{3}=\frac{16}{45}$-----------------------（4分）
（Ⅱ）甲选课程的学分可能为（3，3，1），（3，2，2），
所以甲选课程的学分正好为7学分的概率为$P=\frac{C_4^2C_2^1+C_4^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$-----------------（7分）
（Ⅲ）X的可能取值为4，5，6，7，8，9----------------------（8分）$P（X=4）=\frac{C_2^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；           $P（X=5）=\frac{C_2^2C_4^1+C_4^2C_2^1}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{15}$；$P（X=6）=\frac{C_2^1C_4^1C_4^1+C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$；      $P（X=7）=\frac{3}{10}$；$P（X=8）=\frac{C_4^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{5}$；          $P（X=9）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；
所以随机变量X的分布列为：

X456789
P$\frac{1}{30}$$\frac{2}{15}$$\frac{3}{10}$$\frac{3}{10}$$\frac{1}{5}$$\frac{1}{30}$
----------------------（10分）
所以随机变量X的数学期望$Eξ=4×\frac{1}{30}+5×\frac{2}{15}+6×\frac{3}{10}+7×\frac{3}{10}+8×\frac{1}{5}+9×\frac{1}{30}=\frac{33}{5}$-----------（12分）

点评 本题考查了互斥事件与互相独立事件的概率计算公式及其随机变量的数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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