题目内容

已知圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为 $数学公式$ ，求圆C的方程．

解：法Ⅰ：设圆心C（a，b），半径为r
易见线段AB的中点为M（2，1）

∵CM⊥AB， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 即：3b=a+1①

又∵ $\text{[math]}$ ∴（a-2）²+（b-1）²=10②

联立①②得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
即C（-1，0）或C（5，2）

∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20

法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，-2）
∴直线AB的方程为：3x+y-7=0

∵线段AB的中点为M（2，1）
∴圆心C落在直线AB的中垂线：x-3y+1=0上

不妨设C（3b-1，b）

∴ $\text{[math]}$

解得b=0或b=2
即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20

分析：解法I：设圆心C（a，b），半径为r，圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，由垂径定理可得，圆心与直线AB的中点M的连线长度为 $\text{[math]}$ ，且与AB垂直，由此建立关于a，b，r的方程组，进而得到圆C的方程．
解法II：由已知中圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），我们由垂径定理得到C点在AB的中垂线上，可设C点坐标为C（3b-1，b），进而根据圆心C到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，构造方程求出b值，进而求出圆的半径，得到圆C的方程．
点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），得到圆心在AB的中垂线上，是解答本题的关键．