Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，证明f（x）在区间[1，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析 证法一：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，作差比较f（x₁），f（x₂）的大小，结合单调性的定义，可得结论；
证法二：求导，判断出导函数在区间[1，+∞）上的符号，可得原函数的单调性．

解答 证法一：（定义法），
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{{（x}_{2}}^{2}+1）-{x}_{2}{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在区间[1，+∞）上为减函数．
证法二：（导数法）
∵函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴函数f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在区间[1，+∞）上为减函数．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的判断与证明，难度中档．