Question

椭圆C：的焦距为2，且过点，已知F为椭圆的右焦点，A、B为椭圆上的两动点，直线l：x=2与x轴交于点G．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点A、B、G三点共直线l'，试求当△AOB的面积最大时直线l'的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知，c=1，从而b²=a²-c²=1，故可求椭圆的方程；
（2）设过点G的直线方程为x=my+2，代入椭圆方程，计算原点O到直线x=my+2的距离为，|AB|的长，表示出△AOB的面积，再换元，利用基本不等式求△AOB的面积最大，从而可求直线l'的方程．
解答：解：（1）由题意可知，c=1，
从而b²=a²-c²=1，所以椭圆的方程为．
（2）设过点G的直线方程为x=my+2，代入椭圆方程，
得（m²+2）y²+4my+2=0（*）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有，，
∴=
由于原点O到直线x=my+2的距离为，
∴
令m²-2=t，则由（*）式知△＞0，
∴m²-2＞0，故t＞0．
∴≤，当且仅当，即t=4是等号成立，此时m²=6．
∴时，△AOB面积最大，此时直线l的方程为．
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，（2）问表示出三角形的面积，转化为利用基本不等式求解是关键．