Question

16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a-3b=0，实数c，d满足2d-c+$\sqrt{5}$=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （a-c）²+（b-d）²的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x-ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+$\sqrt{5}$上．故（a-c）²+（b-d）²的最小值就是曲线上与直线y=2x+$\sqrt{5}$平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．

解答 解：由ln（b+1）+a-3b=0，得a=3b-ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x-ln（x+1）上的任意一点，
由2d-c+$\sqrt{5}$=0，得c=2d+$\sqrt{5}$，则点（d，c）是直线y=2x+$\sqrt{5}$上的任意一点，
因为（a-c）²+（b-d）²表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以（a-c）²+（b-d）²的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+$\sqrt{5}$平行的切线到该直线的距离的平方．
y'=3-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{3x+2}{x+1}$，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方${d}^{2}=（\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}）^{2}=1$．
故选：A

点评 本题考查了导数的几何意义和两平行线之间的距离公式，关键是弄清所要求表达式的几何意义以及构造曲线和直线，属于中档题．