题目内容

据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f（x）=Asin（ωx+φ）+7（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ）来表示（x为月份）．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，则国庆期间的价格约为

A.
4.2千元
B.
5.6千元
C.
7千元
D.
8.4千元

D
分析：根据3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，得函数的振幅A=2且周期T=8．再根据函数的最大值为f（3）=9，算出φ=- $\text{[math]}$ ，从而得出函数表达式为f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）+7，求出f（10）的近似值，即得国庆期间的价格．
解答：∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，
∴2A=9-5=4，得A=2．函数的周期T=2（7-3）=8
因此，ω= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得函数表达式为f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+φ）+7
∵f（3）=2sin（ $\text{[math]}$ +φ）+7=9，函数最大值为9
∴ $\text{[math]}$ +φ= $\text{[math]}$ +2kπ，得φ=- $\text{[math]}$ +2kπ，（k∈Z）
∵|φ|＜ $\text{[math]}$ ，∴取k=0，得φ=- $\text{[math]}$ ，
由此可得函数表达式为f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）+7
∴f（10）=2sin（ $\text{[math]}$ ×10- $\text{[math]}$ ）+7= $\text{[math]}$ +7≈8.4千元
即国庆期间的价格约为8.4千元
故选D
点评：本题给出类似于三角函数的模型的实际应用问题，求一个近似值，着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．