Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，则不等式$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$的解集是{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 由h（x）=x²+4x在[0，+∞）单调递增，h（x）_min=h（0）=0，g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上单调递增，g（x）_max=g（0）=0可知函数f（x）在R上单调递增，则由$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$可得$\sqrt{x}$＞2x，解不等式可求．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，
∵h（x）=x²+4x在[0，+∞）单调递增，h（x）_min=h（0）=0
g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上单调递增，g（x）_max=g（0）=0
由分段函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增
∵$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$，
∴$\sqrt{x}$＞2x，
∴0＜x＜$\frac{1}{4}$，
故答案为{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

点评 本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解答本题的关键是由每段函数的单调性及最值判断整段函数的单调性．