Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，点P是棱BB₁上一点，满足$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{B{B_1}}$（0≤λ≤1）．
（1）若λ=$\frac{1}{3}$，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P-A₁C-B的正弦值为$\frac{2}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线PC与平面A₁BC所成的角的正弦值．
（2）求出平面PA₁C的法向量和平面PA₁C的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答 解：（1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=AC=1，AA₁=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
A₁（0，0，2），B₁（1，0，2），P（1，0，2λ）．…（1分）
由$λ=\frac{1}{3}$得，$\overrightarrow{CP}=（1，-1，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，1，-2）$，
设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}-2{z_1}=0\\{y_1}-2{z_1}=0.\end{array}\right.$
取z₁=1，则x₁=y₁=2，从而平面A₁BC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．…（3分）
设直线PC与平面A₁BC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{22}}{33}$，
∴直线PC与平面A₁BC所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{22}}}{33}$．…（5分）
（2）设平面PA₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{{A_1}P}=（1，0，\;2λ-2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y_2}-2{z_2}=0\\{x_2}+（2λ-2）{z_2}=0.\end{array}\right.$
取z₂=1，则x₂=2-2λ，y₂=2，平面PA₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（2-2λ，2，1）．…（7分）
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{9-4λ}{3\sqrt{4{λ}^{2}-8λ+9}}$，
又∵二面角P-A₁C-B的正弦值为$\frac{2}{3}$，∴$\frac{9-4λ}{{3\sqrt{4{λ^2}-8λ+9}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，…（9分）
化简得λ²+8λ-9=0，解得λ=1或λ=-9（舍去），
故λ的值为1． …（10分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．