Question

已知函数f（x）=x+

a2

x

（其中常数a＞0），x∈（0，+∞）．对于n=1，2，3，…，定义函数列{f_n（x）}如下：f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x））．设y=f_n（x）的图象的最低点为P_n（x_n，y_n），则下列说法中错误的是（　　）

• A、x_n=a
• B、y_n+1＞y_n
• C、f_n+1（x）-f_n（x）≥y_n+1-y_n
• D、y_n≥a

  2n+2

Answer 1

考点：基本不等式,函数的图象

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：应用基本不等式求出f₁（x）的最小值，应用导数求出f（x）的单调增区间，从而推出故x_n=a，y_n+1＞y_n，判断A，B；再应用数学归纳法证明y_n≥a

2n+2

，判断D；应用举例说明取n=1，令x=

a

2

，得到f₂（

a

2

）-f₁（

a

2

）＜y₂-y₁，从而判断C．

解答：解：∵常数a＞0，x∈（0，+∞），
∴f₁（x）=f（x）=x+

a2

x

≥2a，
当且仅当x=a即x₁=a，取最小值2a，即最低点为（a，2a），
又f₂（x）=f（f₁（x）），令f₁（x）=t₁，则t₁≥2a，
由于f（x）的导数f′（x）=1-

a2

x2

，由f′（x）＞0得x＞a，
故f（x）的增区间为（a，+∞），
∴f₂（x）≥2a+

a2

2a

=

5

2

a，即最低点为（a，

5

2

a），
同理f₃（x）=f（f₂（x）），f₃（x）≥

5

2

a+

a2

5a 2

=

29a

10

，
即最低点为（a，

29a

10

），
故x_n=a，y_n+1＞y_n，即A，B正确；
应用数学归纳法证明：y_n≥a

2n+2

，
n=1时，y₁=2a≥a

2+2

，成立，
设n=k时，y_k≥a

2k+2

成立，则当n=k+1时，y_k+1=y_k+

a2

yk

≥a

2k+2

+

a2

a 2k+2

，
∵（

2k+2

+

1

2k+2

）²=2k+2+2+

1

2k+2

＞2（k+1）+2，
∴y_k+1＞a

2(k+1)+2

，
故D正确；
对C．取n=1，令x=

a

2

，则f₁（

a

2

）=

a

2

+2a=

5a

2

，
f₂（

a

2

）=

5a

2

+

2a

5

，f₂（

a

2

）-f₁（

a

2

）=

2a

5

＜y₂-y₁=

5a

2

-2a，
故C错．
故选C．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查函数的单调性及应用求最值，同时考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，是一道函数与数列的综合题．