Question

6．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos（B+C）+cos2A=一$\frac{3}{2}$．
（1）求A的大小
（2）若a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式和诱导公式将条件转化为关于cosA的方程解出；
（2）利用余弦定理解出bc，结合b+c=3解方程组得出b，c的值．

解答 解：（1）∵2cos（B+C）+cos2A=-$\frac{3}{2}$，
∴-2cosA+2cos²A-1=-$\frac{3}{2}$．
解得cosA=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=3，∴b²+c²=9-2bc．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-3}{2bc}$=$\frac{6-2bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴bc=2．
∴b=1，c=2，或b=2，c=1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．