Question

在△ABC中，tan

A+B

2

=2sinC．
（I）求∠C的大小；
（II）若AB=1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的三角和为π及三角函数的诱导公式化简已知的等式，利用三角形中内角的范围，求出∠C的大小
（II）利用三角形的正弦定理将边BC，CA用角A的三角函数表示，利用两角差的正弦公式展开，再利用三角函数中的公式
asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)将三角形的周长化简成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函数的有界性求出△ABC周长的取值范围．

解答：解：（I）由tan

A+B

2

=2sinC及

A+B

2

=

π

2

-

C

2

，得cot

C

2

=2sinC，
∴

cos C 2

sin C 2

=4sin

C

2

cos

C

2

∵0＜

C

2

＜

π

2

，cos

C

2

＞0，sin

C

2

＞0，
∴sin²

C

2

=

1

4

，sin

C

2

=

1

2

，

C

2

=

π

6

，C=

π

3

．
∴C=

π

3

（II）由正弦定理，得

AB

sinC

=

BC

sinA

=

CA

sinB

=

2 3

3

，
△ABC的周长y=AB+BC+CA=1+

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin(

2π

3

-A）
=1+

2 3

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA)
=1+2sin(A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

）≤1，
所以，△ABC周长的取值范围是（2，3]

点评：解决三角函数的取值范围问题一般利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)将三角函数化为y=Asin（ωx+φ）+k形式．