Question

18．如图1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E为DC上一点，且DE=3．沿AE将△ADE折起，得到一个四棱锥D-ABCE．如图2，F为DB上一点，且CF∥平面DAE．
（1）求CF的长；
（2）若DB=3，求四棱锥D-ABCE的体积．

Answer 1

分析 （1）过F作FG∥AB交AD于G，连结FG，EG，由CF∥平面ADE得CF∥EG，故四边形ECFG是平行四边形，于是$\frac{DG}{DA}=\frac{FG}{AB}=\frac{EC}{AB}=\frac{2}{5}$，得出DG，利用勾股定理求出EG，于是FC=EG；
（2）根据条件得AD⊥DB，于是AD⊥平面BDE，利用等积法求出D到平面ABCE的距离，代入棱锥的体积公式计算四棱锥的体积．

解答 解：（1）过F作FG∥AB交AD于G，连结FG，EG．
∵FG∥AB，EC∥AB，
∴FG∥EC．
∵FC∥平面DAE，FC?平面ECFG，平面ECFG∩平面DAE=EG，
∴FC∥EG，
∴四边形ECFG是平行四边形
∴FC=EG，EC=FG．
∴$\frac{DG}{DA}=\frac{FG}{AB}=\frac{EC}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴DG=$\frac{2}{5}$AD=$\frac{2}{5}BC$=$\frac{8}{5}$．
∴EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{17}{5}$．
∴CF=$\frac{17}{5}$．
（2）∵AD=4，AB=5，DB=3，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
又∵AD⊥DE，DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD=D，
∴AD⊥平面BDE．
∵DE=3，DB=3，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴cos∠EDB=$\frac{D{E}^{2}+D{B}^{2}-B{E}^{2}}{2DE•DB}$=-$\frac{1}{9}$．∴sin∠EDB=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}DE•DB•sin∠EDB$=$\frac{1}{2}×{3}^{2}×\frac{4\sqrt{5}}{9}$=2$\sqrt{5}$．
∴V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•AD$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{5}×4$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．
又∵S_△ABE=$\frac{1}{2}AB•BC$=10，
设D到平面ABCE的距离为h，则V_A-BDE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•h$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵S_梯形ABCE=$\frac{1}{2}×（AB+CE）×BC$=14．
∴四棱锥D-ABCE的体积V=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCE•h=$\frac{1}{3}×14×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{56\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．