Question

5．已知函数$f（x）=6lnx+\frac{1}{2}{x^2}-5x$
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
$f'（x）=\frac{6}{x}+x-5=\frac{{{x^2}-5x+6}}{x}$，$f（1）=-\frac{9}{2}$，
切线的斜率k=f'（1）=2，切点为$（1，-\frac{9}{2}）$…（4分）
所以，切线方程为$y+\frac{9}{2}=2（x-1）$，
即4x-2y-13=0…（6分）
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{{x^2}-5x+6}}{x}=0$，解得x=2或x=3，
由f'（x）＞0解得0＜x＜2或x＞3，由f'（x）＜0解得2＜x＜3，
所以函数的单调递增区间为（0，2），（3，+∞），
函数的单调递减区间为（2，3）…（10分）
且当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=-8+6ln2，
$当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=-\frac{21}{2}+6ln3$…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．