题目内容
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，E为棱AA1上任意一点，F是CD的中点．（1）证明：BD⊥EC1；
（2）若AF∥平面C1DE，求
| AE |
| A1A |
考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的性质
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）连接AC，AE∥CC1，推出底面A1B1C1D1是正方形．然后证明BD⊥平面EACC1，即可证明BD⊥EC1；
（2）设平面C1DE交A1B1于G，连接C1G，EG，根据面面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理，可得G是A1B1的中点，E为AA1的中点，进而得到答案．
（2）设平面C1DE交A1B1于G，连接C1G，EG，根据面面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理，可得G是A1B1的中点，E为AA1的中点，进而得到答案．
解答：
解：（1）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，
所以BD⊥平面EACC1，
所以BD⊥EC1；
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，设平面C1DE交A1B1于G，如图所示：
∵AF∥平面C1DE，AF?平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
故AF∥C1G，
由F是CD的中点．可得G是A1B1的中点，
又∵平面A1B1BA∥平面C1D1DC，
故EG∥C1D，
故E为AA1的中点，
故
=
．
解：（1）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，
所以BD⊥平面EACC1，
所以BD⊥EC1；
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，设平面C1DE交A1B1于G，如图所示：
∵AF∥平面C1DE，AF?平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
故AF∥C1G，
由F是CD的中点．可得G是A1B1的中点，
又∵平面A1B1BA∥平面C1D1DC，
故EG∥C1D，
故E为AA1的中点，
故
| AE |
| A1A |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力计算能力．
练习册系列答案
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若y=ax2+bx+c（a＜0）中，两个零点x1＜0，x2＞0，且x1+x2＞0，则（ ）
| A、b＞0，c＞0 |
| B、b＞0，c＜0 |
| C、b＜0，c＞0 |
| D、b＜0，c＜0 |
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=