Question

3．某同学用“五点法”画函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{4}{3}$π	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{2}{3}$π
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{π}{2}$
f（x）

（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象；
（2）求f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（3）求f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$时的值域．

Answer 1

分析 （1）先把数据补全，利用描点法能在给出的直角坐标系中，画出f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象．
（2）利用正弦函数的图象及性质能求出函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$的最小值及取最小值时x的集合．
（3）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，从而$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，由此能求出f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$时的值域．

解答 解：（1）数据补全如下表：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{4π}{3}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	$\sqrt{3}+1$	1	-1	1	3	$\sqrt{3}+1$

…（3分）
故f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象如图所示．

…（6分）
（2）当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$x=kπ-\frac{π}{12}，k∈Z$时，f（x）取最小值-1．
取最小值时x的集合为$\{x|x=kπ-\frac{π}{12}，k∈Z\}$．…（8分）
（3）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，…（9分）
故$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$…（11分）
所以$f（x）∈[{-\sqrt{3}+1，3}]$，即f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$时的值域为$[{-\sqrt{3}+1，3}]$．…（12分）

点评 本题考查三角函数的图象的画法，考查三角函数的最小值及取最小值时x的集合的求法，考查三角函数的值域的求法，涉及到三角函数的图象及性质等知识点，是中档题．