Question

3．已知{a_n}满足a₁=1，a₂ =-13，a_n+2-2a_n+1+a_n=2n-6，则当a_n取最小值时n的值为（　　）

• A． 8或9
• B． 9
• C． 8
• D． 7或8

Answer 1

分析 令a_n+1-a_n=b_n，b₁=a₂-a₁=-14．由a_n+2-2a_n+1+a_n=2n-6，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2n-6，即b_n+1-b_n=2n-6，利用“累加求和”方法可得：b_n=n²-7n-8．即a_n+1-a_n=（n-8）（n+1），对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：令a_n+1-a_n=b_n，b₁=a₂-a₁=-14．
∵a_n+2-2a_n+1+a_n=2n-6，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2n-6，
∴b_n+1-b_n=2n-6，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=[2（n-1）-6]+[2（n-2）-6]+…+（2×1-6）-14=$\frac{（n-1）（2n-8-4）}{2}$-14=n²-7n-8．
∴a_n+1-a_n=n²-7n-8=（n-8）（n+1），
可得1≤n≤7时，a_n+1＜a_n；n=8时，a₉=a₈；n≥9时，a_n+1＞a_n．
当a_n取最小值时n的值为8或9．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．