Question

5．已知函数f（x）=|ax-2|+|ax-a|
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若存在x∈R，使f（x）＜2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的意义求出x的范围即可；（2）求出f（x）的最小值，问题等价于f（x）_min=|a-2|≤2，解不等式即可．

解答 解：（1）a=1时，不等式为|x-2|+|x-1|≥2，
此不等式的几何意义可解析为数轴上的点x到1，2的距离之和大于等于2，
∴x≥$\frac{5}{2}$或x≤$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集是{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{5}{2}$}；
（2）∵f（x）=|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）+（a-ax）|=|a-2|，
∵f（1）=|a-2|，∴f（x）_min=|a-2|，
∴存在x∈R，使得f（x）＜0等价于f（x）_min=|a-2|≤2，
∴实数a的范围是[0，4]．

点评 本题考查了绝对值不等式的意义，考查转化思想，是一道中档题．