Question

14．已知定义在区间（-1，1）上的增函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$为奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和特殊值建立方程关系求出a，b的值即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是在区间（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=b=0
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\frac{a}{2}+b}}{{1+\frac{1}{4}}}=\frac{2}{5}$，
∴a=1∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$
（2）∵f（t-1）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数，
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数∴$\left\{\begin{array}{l}t＜1-t\\-1＜t＜1\\-1＜1-t＜1\end{array}\right.$，解得$0＜t＜\frac{1}{2}$
故关于t的不等式的解集为$\left\{{t|0＜t＜\frac{1}{2}}\right\}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．