Question

2．江苏高考新方案采用“3+3”模式，语数外三门必考，然后在物理、化学、生物、历史、政治、地理六门学科中任选三门进行测试，现有甲、乙、丙三人进行模拟选择：甲的物理非常优秀，所以甲必要选择物理，其余两门随机选择；乙的政治比较薄弱，所以乙一定不选政治，其余随机选择；丙的各门成绩比较平均，所以丙随机选择三门．
（1）则甲、乙、丙三人分别有多少种选择方法；
（2）三人中恰有2人选择物理的概率；
（3）随机变量ε表示三人中选择物理的人数，写出ε的概率分布及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用组合数公式能求出甲、乙、丙三人分别有多少种选择方法．
（2）由排列组合知识能求出三人中恰有2人选择物理的概率．
（3）由题意知ε的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ε的概率分布及数学期望．

解答 解：（1）∵甲、乙、丙三人在物理、化学、生物、历史、政治、地理六门学科中任选三门进行测试，
甲的物理非常优秀，所以甲必要选择物理，其余两门随机选择，故甲有$C_5^2=10$种选择方法，
乙的政治比较薄弱，所以乙一定不选政治，其余随机选择，故乙有$C_5^2=10$种选择方法，
丙的各门成绩比较平均，所以丙随机选择三门，故丙有$C_6^3=20$种选择方法．
（2）三人中恰有2人选择物理的概率p=$\frac{C_4^1C_5^3}{C_5^2C_6^3}+\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{2}$．
（3）由题意知ε的可能取值为1，2，3，
$P（{ε=1}）=\frac{C_4^3C_5^3}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{5}$，
P（ε=2）=$\frac{C_4^1C_5^3}{C_5^2C_6^3}+\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{2}$，
$P（{ε=3}）=\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{3}{10}$，
∴ε的分布列为：

ε	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$

E（ε）=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．