某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品.每年每人只要交少量保费.发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A.B.C三类工种.根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表．工种类别ABC赔付频率$\frac{1}{1{0}^{5}}$$\frac{2}{1{0}^{5}}$$\frac{1}{1{0}^{4}}$(Ⅰ)根据� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A、B、C三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）．

工种类别	A	B	C
赔付频率	$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{2}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{4}}$

（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润．

分析（Ⅰ）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，求出X的分布列和保险公司期望收益，根据规则a-5≤0.2a，从而a≤6.25元，设工种B的每份保单保费为b元，求出赔付金期望值为10元，则保险公司期望利润为b-10元，根据规则b-10≤0.2b，解得b≤12.5元，设工种C的每份保单保费为c元，求出赔付金期望值为50元，则保险公司期望利润为c-50元，根据规则c-50≤0.2c，解得c≤62.5元．
（Ⅱ）购买A类产品的份数为12000份，购买B类产品的份数为6000份，购买C类产品的份数为2000份，由此能求出保险公司在这宗交易中的期望利润．

解答解：（Ⅰ）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，
则X的分布列为：

X	a	a-50×10⁴
P	1-$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{5}}$

保险公司期望收益为$EX=a（{1-\frac{1}{{{{10}^5}}}}）+$$（{a-50×{{10}^4}}）×\frac{1}{{{{10}^5}}}$=a-5
根据规则a-5≤0.2a
解得a≤6.25元，
设工种B的每份保单保费为b元，赔付金期望值为$\frac{{50×{{10}^4}×2}}{{{{10}^5}}}=10$元，
则保险公司期望利润为b-10元，根据规则b-10≤0.2b，解得b≤12.5元，
设工种C的每份保单保费为c元，赔付金期望值为$\frac{{50×{{10}^4}}}{{{{10}^4}}}=50$元，
则保险公司期望利润为c-50元，根据规则c-50≤0.2c，解得c≤62.5元．
（Ⅱ）购买A类产品的份数为20000×60%=12000份，
购买B类产品的份数为20000×30%=6000份，
购买C类产品的份数为20000×10%=2000份，
企业支付的总保费为12000×6.25+6000×12.5+2000×62.5=275000元，
保险公司在这宗交易中的期望利润为275000×20%=55000元．

点评本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题．