Question

9．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2$\sqrt{2}$，侧棱长为4，E、F分别
为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G；
（1）求直线D₁E与平面D₁DBB₁所成角的大小；
（2）求点D₁到平面B₁EF的距离d．

Answer 1

分析 （1）通过线面关系找到所求的角，解三角形即可；（2）求点D₁到平面B₁EF的距离，根据（Ⅱ）中证出的平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只要过D₁作交线B₁G的垂线就得到点到面的距离，然后通过借直角三角形求解

解答 解：（1）设EF与DB交于点G，连接D₁G，连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁，易得EG⊥面平面D₁DBB₁，所以∠ED₁G就是所求的角，
EF=$\frac{1}{4}$AC=1，D₁G=$\sqrt{{D}_{1}{D}^{2}\\;+D{M}^{2}}=5$，∴$tan∠E{D}_{1}M=\frac{1}{5}$
直线D₁E与平面D₁DBB₁所成角的大小为arctan$\frac{1}{5}$．
 （2）连接B₁G，作D₁H⊥B₁G，H为垂足．
由于平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，B₁G为交线，
∴D₁H⊥平面 B₁EF．D₁H的长是点D₁到平面B₁EF的距离．
在Rt△D₁B₁H中，D₁H=D₁B₁•sina∠D₁B₁H．
∵D₁B₁=$\sqrt{2}$A₁B₁=4，sin∠D₁B₁H=sina∠B₁GB=$\frac{4}{\sqrt{17}}$
∴D₁H=$\frac{16}{\sqrt{17}}$$\frac{16\sqrt{17}}{17}$∴点D₁到平面B₁EF的距离为$\frac{16\sqrt{17}}{16}$

点评 本题考查了空间线面角、点到面的距离，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．