在平面直角坐标系xOy中.已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$.．以直角坐标系原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点M的极坐标为.直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$.直线l过点M．(1).试写出直线l的极坐标方程.并试求曲线C上的点到直线l距离的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（4，$\frac{π}{2}$），直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，直线l过点M．
（1），试写出直线l的极坐标方程，并试求曲线C上的点到直线l距离的最大值；
（2）把曲线C上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线C₁，若过点E（1，0）与直线l平行的直线l′，交曲线C₁于A，B两点，试求|EA|•|EB|的值．

分析（1）M点的直角坐标为（0，4），可得直线l的方程为：$y-4=tan\frac{π}{3}•（x-0）$，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为极坐标的方程．曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，利用cos²α+sin²α=1可得曲线C的普通方程．圆心到直线的距离d，可得曲线C到直线的距离的最大值为d+r．
（2）直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，∴直线l′的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$，利用cos²α+sin²α=1可得曲线C₁的普通方程．联立化简，利用根与系数的关系即可得出．

解答解：（1）M点的直角坐标为（0，4），∴直线l的方程为：$y-4=tan\frac{π}{3}•（x-0）$，$\sqrt{3}x-y+4=0$，
化为极坐标的方程为$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ+4=0$．
曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，可知曲线C的方程为x²+y²=1，圆心到直线的距离$d=\frac{|4|}{{\sqrt{3+1}}}=2$，
∴曲线C到直线的距离的最大值为2+1=3．
（2）直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，∴直线l′的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$，可得曲线C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
联立可得$\frac{31}{4}{t}^{2}+4t-32$=0，
∴t₁t₂=-$\frac{128}{31}$，
故|EA||EB|=$\frac{128}{31}$．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线的参数方程化为普通方程、椭圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．