Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}n$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=2^-na_n求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n，再验证对n=1也成立，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，而b_n=2^-na_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，利用错位相减法可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）n=1时a₁=S₁=1，----------（2分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n，---------（5分）
此式对n=1也成立，∴a_n=n，n∈N^*．-------------（6分）
（Ⅱ）∵b_n=2^-na_n，∴b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，------------（8分）
∴T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，------------①
$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，------------②
（1）-（2）得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，------------（11）
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$------------（12分）

点评 本题考查数列的求和，着重考查递推关系式的应用及错位相减法求和，属于中档题．