Question

5．已知复数ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i（i为虚数单位）．
（1）求ω²及ω²+ω+1的值；
（2）若等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比q=ω，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据复数的运算法则，分别计算ω²与ω²+ω+1的值即可；
（2）根据等比数列的前n项和，利用复数的运算法则进行计算即可．

解答 解：（1）∵复数ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i（i为虚数单位），
∴ω²=${（-\frac{1}{2}）}^{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+${（\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{2}$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
ω²+ω+1=（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）+1=0；
（2）等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比q=ω，
∴数列{a_n}的前n项和
S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-ω}^{n}）}{1-ω}$
=$\frac{1{-ω}^{n}}{1-ω}$
=$\frac{1{-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}}{1-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$
=$\frac{[1{-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}]（\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}{（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）（\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$i）[1-${（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}$]．

点评 本题考查了复数的运算法则与应用问题，也考查了等比数列的前n项和的计算问题，是综合性题目．