Question

12．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得a和b的关系，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，从而可求双曲线离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0
圆方程（x-$\sqrt{3}$）²+y²=2
∴C（$\sqrt{3}$，0），半径为$\sqrt{2}$，
∵双曲线线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆相切
∴$\frac{丨\sqrt{3}b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴b²=2a²
∵c²=b²+a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$
∴双曲线离心率等于$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等多个基础知识的综合应用，考查转化思想，属于中档题．