Question

已知函数y=3sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R
（1）求出函数的最小正周期；
（2）求出函数的对称轴方程、对称中心；
（3）说明函数y=3sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据三角函数的图象和性质即可求出函数的对称轴方程、对称中心；
（3）根据三角函数的图象变换关系即可得到结论．

解答： 解：（1）因为?=

1

2

…（1分）
所以T=

2π

?

=4π…．（2分）
（2）令

1

2

x+

π

3

=

π

2

+kπ，k∈z…..（3分）
解得：x=

π

3

+2kπ，k∈z…（4分）
所以，函数的对称轴方程为：x=

π

3

+2kπ，k∈z…（5分）
令

1

2

x+

π

3

=kπ，k∈z…..（6分）
解得：x=-

2π

3

+2kπ，k∈z…（7分）
所以，函数的对称中心为(-

2π

3

+2kπ，0)，k∈z…．（8分）
（3）方法一（先平移后伸缩）：
①将函数y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=sin(x+

π

3

)的图象；…．（10分）
②再将函数y=sin(x+

π

3

)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)的图象；  …..（12分）
③最后将函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标保持不变得到函数y=3sin(

1

2

x+

π

3

)的图象．…（14分）
方法二（先伸缩后平移）
①将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y=sin

1

2

x的图象；     …．（10分）
②再将函数y=sin

1

2

x的图象向左平移

2

3

π个单位，得到函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)的图象；…．（12分）
最后将函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标保持不变得到函数y=3sin(

1

2

x+

π

3

)的图象   …．（14分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数的图象变换关系，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．