题目内容

1．某电视竞赛截面设置了先后三道程序，优、良、中，若选手在某道程序中获得“中”，则该选手在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序，选手只有全部通过三道程序才算通过，某选手甲参加了该竞赛节目，已知甲在每道程序中通过的概率为$\frac{3}{4}$，每道程序中得优、良、中的概率分别为p1，$\frac{1}{2}$，p2．
（1）求甲不能通过的概率；
（2）设ξ为在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．

分析 （1）由已知列出方程组求出${p}_{1}={p}_{2}=\frac{1}{4}$，由此能求出甲不能通过的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）∵某选手甲参加了该竞赛节目，已知甲在每道程序中通过的概率为$\frac{3}{4}$，
每道程序中得优、良、中的概率分别为p1，$\frac{1}{2}$，p2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解是${p}_{1}={p}_{2}=\frac{1}{4}$，
设事件A表示“甲不能通过”，
则甲不能通过的概率P（A）=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{37}{64}$．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+$$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{5}{16}$，
∴ξ的分布列为：

 ξ 0 1 2 3
 P $\frac{9}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{7}{64}$ $\frac{1}{64}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

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