Question

学校食堂定期向精英米业以每吨1500元的价格购买大米，每次购买大米需支付运输费用100元，已知食堂每天需食用大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假设食堂每次均在用完大米的当天购买．
（Ⅰ）问食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（Ⅱ）若购买量大，精英米业推出价格优惠措施，一次购买量不少于20吨时可享受九五折优惠，问食堂能否接受此优惠措施？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求库存费用，再求出每天所支出的总费用，利用基本不等式，即可求得平均每天所支付的最小费用；
（Ⅱ）设每隔n（n≥20）天购买一次，求出每天支付费用，利用函数的单调性，求出函数的最小值，与（I）比较，即可得到结论．

解答：解：（I）设每隔t天购进大米一次，因为每天需大米一吨，所以一次购大米t吨，那么库存费用为2[t+（t-1）+（t-2）+…+2+1]=t（t+1），（2分）
设每天所支出的总费用为y₁，则y1=

1

t

[t(t+1)+100]+1500=t+

100

t

+1501≥2

t• 100 t

+1501=1521．
当且仅当t=

100

t

，即t=10时等号成立．
所以每隔10天购买大米一次使平均每天支付的费用最少．（7分）
（II）若接受优惠条件，则至少每隔20天购买一次，
设每隔n（n≥20）天购买一次，每天支付费用为y₂，
则y₂=

1

n

[n(n+1)+100]+1500×0.95=n+

100

n

+1426
∵n∈[20，+∞)，f(n)=n+

100

n

在[20，+∞）上为增函数，
∴当n=20时，y₂有最小值：20+

100

20

+1426=1451＜1521．
故食堂可接受                                                  （13分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数解析式，属于中档题．