Question

2．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{2}，-{cos^2}\frac{x}{2}）$，设函数$f（x）=\frac{1}{2}+\overrightarrow m•\overrightarrow n$．又在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，$f（A）=\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，且cos（B-C）+cosA=4sin²C．求c边的大小．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，由f（A）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可得解A的值；
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBsinC=4sin²C，结合sinC≠0，可得sin B=2sin C，利用正弦定理可得b=2c，进而由余弦定理可求c的大小．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{2}，-{cos^2}\frac{x}{2}）$，
∴函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-{cos^2}\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$=$sin（x-\frac{π}{6}）$，…（3分）
∵f（A）=$\frac{1}{2}$，
∴$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（4分）
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．…．（6分）
（2）∵cos （B-C）+cos A=4sin²C．
∴cos （B-C）-cos （B+C）=4sin²C，
∴2sinB sinC=4sin²C，
∵sinC≠0，
∴sin B=2sin C，
由正弦定理可得b=2c，…（9分）
又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即 $9=4{c^2}+{c^2}-4{c^2}×\frac{1}{2}$，
∴解得 $c=\sqrt{3}$．…（12分）

点评 此题主要考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．