Question

若对任意长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，则K的取值范围是（　　）

• A．（0，1]
• B．（0，

  1

  2

  ]
• C．[1，+∞）
• D．[

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先画出图形，根据已知条件分别表示出其侧面积之比与体积之比，进而利用基本不等式的性质即可得出答案．

解答：解：如图所示的两个长方体A与B：
设A、B两个长方体的长、宽、高分别为：1、x、y，1、a、b．
则S_A侧=2（x+y），V_A=xy；S_B侧=2（a+b），V_B=ab．
由题意B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，
∴

a+b

x+y

=k，

ab

xy

=k．
由a+b=k（x+y）≥2

ab

=2

kxy

，
∴k²（x+y）²≥4kxy，∴k≥

4xy

(x+y)2

恒成立．
而

4xy

(x+y)2

≤

4xy

4xy

=1，故k≥1．
故选C．

点评：正确表示出侧面积之比与体积之比及熟练应用基本不等式的性质是解题的关键．