Question

17．在△ABC中，已知（$\sqrt{3}$sinB-cosB）（$\sqrt{3}$sinC-cosC）=4cosBcosC，且AB+AC=4，则BC长度的取值范围为（　　）

• A． （0，2]
• B． [2，4）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先根据已知条件结合两角和与差的计算公式整理得到B+C=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$，再集合余弦定理以及二次函数的最值和三角形三边关系即可得到结论．

解答 解：由已知：（$\sqrt{3}$sinB-cosB）（$\sqrt{3}$sinC-cosC）=4cosB•cosC，
可得：$\sqrt{3}$（sinBcosC+cosBsinC）=-3（cosBcosC-sinBsinC），
⇒$\sqrt{3}$sin（B+C）=-3cos（B+C）
⇒tan（B+C）=-$\sqrt{3}$；
因为：0＜B+C＜π；
所以：B+C=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$，
由：AB+AC=4，得：AB=4-AC，
故：BC²=AB²+AC²-2AC•ABcosA
=（4-AC）²+AC²-（4-AC）AC
=3（AC-2）²+4≥4；
当且仅当AC=2时上式取等号，
所以：BC≥2，
又因为：BC＜AC+AB=4，
则BC的取值范围是：[2，4）．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的整体把握和理解，属于中档题．