Question

17．①若椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；
②椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则b=c（c为半焦距）；
③双曲线$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{35}$+y²=1有相同的焦点；
④抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．
其中真命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 根据点与椭圆的位置关系，可判断①； 根据离心率，求出b，c关系，可判断②；求出椭圆和双曲线的焦点，可判断③；求出抛物线上点到焦点的最小距离，可判断④

解答 解：①若椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞10，则动点P一定在该椭圆外部，故错误；
②椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则b=c=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a（c为半焦距），正确；
③双曲线$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{35}$+y²=1有相同的焦点（$±\sqrt{34}$，0），正确；
④抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为$\left|\frac{p}{2}\right|$=1，正确．
故答案为：②③④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了点与椭圆的位置关系，圆锥曲线的性质等知识点，难度中档．