Question

9．已知△ABC内接于以原点O为圆心半径为1的圆，若2$\stackrel{?}{OA}$+3$\stackrel{?}{OB}$+$\sqrt{7}\stackrel{?}{OC}$=0，则∠ACB=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 2$\stackrel{?}{OA}$+3$\stackrel{?}{OB}$+$\sqrt{7}\stackrel{?}{OC}$=0⇒2$\stackrel{?}{OA}$+3$\stackrel{?}{OB}$=-$\sqrt{7}\stackrel{?}{OC}$，两边平方可得$\stackrel{?}{OA}$•$\stackrel{?}{OB}$=cos∠AOB=-$\frac{1}{2}$，从而可得∠AOB=$\frac{2π}{3}$，继而可得答案．

解答 解：∵2$\stackrel{?}{OA}$+3$\stackrel{?}{OB}$+$\sqrt{7}\stackrel{?}{OC}$=0，
∴2$\stackrel{?}{OA}$+3$\stackrel{?}{OB}$=-$\sqrt{7}\stackrel{?}{OC}$，又|$\stackrel{?}{OA}$|=|$\stackrel{?}{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴等式两边平方得：4+9+12$\stackrel{?}{OA}$•$\stackrel{?}{OB}$=7，
∴$\stackrel{?}{OA}$•$\stackrel{?}{OB}$=cos∠AOB=-$\frac{1}{2}$，如图：

∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积的应用，考查转化思想与作图及运算能力，求得∠AOB=$\frac{2π}{3}$是关键，属于中档题．