Question

17．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． 12π
• D． 12$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径的最小值即可求出球的体积．

解答 解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a²h=8．
∵正四棱柱的体对角线即为球的直径，∴2r═$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+{h}^{2}}$≥$\sqrt{3\root{3}{{a}^{4}{h}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$
∴r的最小值为$\sqrt{3}$，
故该正四棱柱外接球体积的最小值为V=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故选：A．

点评 本题是中档题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．