Question

13．意大利著名数学家裴波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{f_n}称为“斐波那契数列”，“斐波那契数列”有很多优美的性质．
（Ⅰ）通过计算，发现f₁²+f₂²=f₃，f₂²+f₃²=f₅，f₃²+f₄²=f₇，f₄²+f₅²=f₉，照此规律，请你写出第n（n∈N^*）个等式；
（II）在金融市场中，“卢卡斯数列”与“斐波那契数列”无处不在，金融市场的时间和价格均服从斐波那契数列和鲁卡斯数列，王居恭先生提出并论证了用鲁卡斯数列预测股市变盘点的方法，有时准确率达到十分惊人的地步．“卢卡斯数列”{l_n}与“斐波那契数列”有密切的关系，它满足：l₁=1，l_n=f_n+1+f_n-1（n≥2，n∈N^*），它的前6项是1，3，4，7，11，18．
计算$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，判断它们分别是{l_n}中的第几项，请你依此规律归纳出一个正确的结论，并证明该结论及（Ⅰ）中你写出的等式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得第n 个等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*），
（Ⅱ）代值计算，即可判断第几项，由此归纳出一个结论是：对任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）第n 个等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$=3，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$=4，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$=7，即 $\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，分别是{l_n}的第1，2，3，4项
由此归纳出一个结论是：对任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．
下面我们用数学归纳法证明对任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1
证明：（1）当 n=1时，$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1=l₁，f₁²+f₂²=f₃，等式成立；
（2）假设当n=k，（k∈N^*）时等式成立，即 $\frac{{f}_{2k}}{{f}_{k}}$=l_k且f_k²+f_k+1²=f_2k+1
则当n=k+1时，f_2k+2=f_2k+1+f_2k=f_k²+f_k+1²+f_kl_k=f_k+1²+f_k（l_k+f_k），
因为当k=1时，f₁+l₁=2=2f₂，
当k≥2时，l_k+f_k=f_k+f_k-1+f_k+1=f_k+1+f_k+1=2f_k+1，
所以 f_2k+2=f_k+1²+f_k（l_k+f_k）=f_k+1²+2f_kf_k+1=f_k+1（2f_k+f_k+1）
=f_k+1（f_k+2+f_k+1）=f_k+1l_k+1，
即 $\frac{{f}_{2k+2}}{{f}_{k+1}}$=l_k+1，
所以 f_k+1²+f_k+2²=f_k+1²+（f_k+f_k+1）²=f_k+1²+2f_kf_k+1+f_k+1²+f_k²=
f_2k+2+f_2k+1=f_2k+3，
所以，当n=k+1 时，等式也成立；
综上，由（1）、（2）知，对任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1．

点评 本题考查了归纳猜想的问题，以及数学归纳法，属于中档题．