Question

17．已知θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sinθ的值；
（2）求cos（2θ+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式求得sinθ的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和的余弦，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴θ-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
cos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（θ-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sinθ=sin[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）结合（1）可求cosθ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}θ}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2•（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{3}{5}$，
cos2θ=1-2sin²θ=1-2•${（-\frac{\sqrt{10}}{10}）}^{2}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=cos2θ•cos$\frac{π}{3}$-sin2θsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．