Question

4．已知ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，AB⊥BC，AA₁=AB=BC，连接AB₁交A₁B于点E，
（1）求证：AE⊥A₁C
（2）若A₁A=2，求E到平面A₁AC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥平面A₁BC，即可证明AE⊥A₁C
（2）若A₁A=2，利用等体积转化求E到平面A₁AC的距离．

解答 （1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥BC，
∵AB⊥BC，A₁A∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁AB，
∵AE?平面A₁AB，
∴BC⊥AE，
∵A₁A=AB，
∴四边形A₁B₁BA是正方形，
∵E是A₁B的中点，∴AE⊥A₁B，
∴AE⊥平面A₁BC，
∵A₁C?平面A₁BC，
∴AE⊥A₁C；
（2）解：设E到平面A₁AC的距离为h，
AA₁=AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，AE=A₁E=$\sqrt{2}$
由${V}_{E-{A}_{1}AC}$=${V}_{C-{A}_{1}AE}$，得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积求点到平面的距离，属于中档题．