Question

在△ABC中，（1）若

CA

=a，

CB

=b，求证：S_△ABC=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

；
（2）若

CA

=（a₁，a₂），

CB

=（b₁，b₂），求证：△ABC的面积S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．

Answer 1

证明：（1）设a、b的夹角为θ，△ABC的面积S_△=

1

2

|

CA

||

CB

|sinθ=

1

2

|a||b|sinθ．
∵sin²θ=1-cos²θ=1-（

a•b

|a||b|

）²，
∴S_△²=

1

4

（|a||b|）²sin²θ
=

1

4

（|a||b|）²[1-（

a•b

|a||b|

）²]
=

1

4

[（|a||b|）²-（a•b）²]．
∴S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

．
（2）记

CA

=a，

OB

=b，则a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．
∴|a|²=a₁²+a₂²，|b|²=b₁²+b₂²，
|a•b|²=（a₁b₁+a₂b₂）²．
由（1）可知S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

=

1

2

(a12+a22)(b12+b22)-(a1b1+a2b2)2

=

1

2

(a1b2-a2b1)2

，
∴S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．