题目内容
钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里．（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号．一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P→C→A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时．渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．
分析：（1）由题意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，在△ABC中，由正弦定理可求A、C两点间的距离；
（2）求出国舰艇的到达时间、渔政船的到达时间，比较可得结论．
（2）求出国舰艇的到达时间、渔政船的到达时间，比较可得结论．
解答：
解：（1）由题意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，…（2分）
在△ABC中，由正弦定理可得
=
⇒AC≈14.25海里． …（4分）
（2）R国舰艇的到达时间为：
≈1.35小时．…（1分）
在△AQM中，cos60°=
=
，
得AM≈17.44海里，…（4分）
所以渔政船的到达时间为：
≈1.16小时．…1 分
因为1.16＜1.35，所以渔政船先到． …（1分）
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助． …（1分）
解：（1）由题意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，…（2分）在△ABC中，由正弦定理可得
| AB |
| sin11° |
| AC |
| sin115° |
（2）R国舰艇的到达时间为：
| 14.25+10 |
| 18 |
在△AQM中，cos60°=
| AQ2+MQ2-AM2 |
| 2•AQ•MQ |
| 400+64-AM2 |
| 320 |
得AM≈17.44海里，…（4分）
所以渔政船的到达时间为：
| 17.44+8 |
| 22 |
因为1.16＜1.35，所以渔政船先到． …（1分）
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助． …（1分）
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．
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