Question

已知数列的通项公式为，且数列的通项公式满足

，．

（1）试确定实数的值，使得数列为等差数列；

（2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．

Answer 1

解：（1）当时，得，同理：时，得； 时，得，则由，得。

而当时，，得由，

故此时数列为等差数列。           

（2）由题意知，

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；

从而必是数列中的某一项，则

T_m=a₁+2+…+2+a₂+2+…+2+a₃+2+…+2+a₄+…+a_k+2+…+2

       b₁个        b₂个       b₃个               b_k个

 ，         

又，

所以，即，

所以，因为为奇数，

而为偶数，所以上式无解。

即当时，综上所述，满足题意的正整数仅有.