Question

6．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{b}$为两个互相垂直的单位向量，向量$\overrightarrow c$满足$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（2\overrightarrow b-\overrightarrow c）$=0，则$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出图形，根据向量垂直得出$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹，从而得出|$\overrightarrow{c}$|的最大模长．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则OA=OB=1，
延长OB到D，使得OD=2OB，则$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（2\overrightarrow b-\overrightarrow c）$=0，
∴CA⊥CD，即C在以AD为直径的圆M上，
又OA⊥OD，
∴OC的最大值为圆M的直径AD=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于中档题．